Thợ học – Học một điều mới như toán học

Tôi trót học toán. Môt hôm nọ, tôi đi vào hiệu sách và nhìn thấy 1 cuốn sách khá buồn cười: “Tình yêu và toán học”, của Edward Frenkel. Tên tựa sách này làm dậy lên trong tôi những cảm xúc xưa cũ. Ngày đó, những năm lớp bảy, tôi ngồi gặm nhấm cuốn: “Những phương pháp giải toán”, cuốn sách đầu tiên giúp tôi lần đầu giải được phương trình bậc hai, tôi được học về vẻ đẹp của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, Bunhiacopxki… Tôi cũng mất rất nhiều công để chứng minh lại các bất đẳng thức này. Đến năm lớp 10, tôi bỏ toán theo học tin. Thực ra, tôi được học tin từ năm lớp 6, nhưng chưa được học bài bản cho đến năm lớp 10. Trong các bài học cơ bản, tôi được thầy giao bài: Cho trước một điểm và một đa giác, hãy viết chương trình trả lời xem điểm cho trước có nằm trong đa giác hay không? Đó là một bài tin thú vị, khiến tôi phải vận hết sở học của mình ở môn hình học. Sau này, khi được học hình học giải tích, tôi có cơ hội rõ ràng trong việc tìm ra những phương pháp rất hiệu quả để giải quyết các bài hình học phức tạp. Tình yêu đối với toán học của tôi len lỏi từ lâu, nó cứ lập lòe cháy mãi như ngọn lửa nhỏ, nhỏ mà mãnh liệt, không bao giờ bị tắt. Cho đến khi tôi đọc tựa sách ấy, nó như một làn gió mát lành làm bùng lên ngọn lửa tình yêu trong lòng tôi. Cuốn sách đó dẫn tôi phải đọc thêm cuốn khác, cũng rất rắc rối, cuốn “Toán học một thiên tiểu thuyết” của Mickael Launay.

Lịch sử toán học có vẻ như bắt đầu từ những con bò. Cách đây nhiều ngàn năm tại vùng lưỡng hà. Vùng đất là khu vực nằm giữa biển Đỏ phía tây, biển Đen phía bắc, biển Caspi phía đông bắc và vịnh Ba tư (Persian Gulf) phía đông, hiện là lãnh thổ của các nước Iran, Iraq, Syria, Turkey, Kuwait. Vùng lãnh thổ này nằm giữa 2 con sông lớn là Euphrates (có nghĩa là màu mỡ) và Tigis đều bắt nguồn từ núi Taurus. Cách đây khoảng 5000 ~ 6000 năm, vùng đất này là cái nôi của những nền văn minh lớn trong đó có nền văn minh Summer, Assyria, Babylon. Vùng đất màu mỡ này cung cấp đất đai cho những đàn gia súc hàng trăm, thậm chí có thể là hàng nghìn con. Đàn gia súc lớn, đòi hỏi những người chủ gia súc phải thuê những người chăn thả chuyên nghiệp chăm lo. Mỗi mùa, những người chăn thả sẽ dẫn đàn gia súc đến những đồng cỏ mới, cho chúng ăn uống và sinh sôi rồi lại chăn về. Với những đàn gia súc bé, người ta có thể đếm bằng một bàn tay (5 ngón tay) là đủ. Khi số gia súc lớn hơn, người ta phải dùng thêm bàn tay thứ hai để đếm, để tiện đếm, người Summer dùng 5 ngón tay ở bàn thứ nhất và 12 đốt ngón tay ở 4 ngón nhỏ bàn thứ hai để hỗ trợ cùng. Có lẽ vì thế, mà người Summer đã dùng hệ cơ số 60 cho hệ đếm của mình. Di sản lớn của hệ cơ số đó là ngày nay, đồng hồ chia thành 12 giờ mỗi nửa ngày, mỗi tiếng có 60 phút, mỗi phút có 60 giây.

Khi những đàn gia súc phải đi chăn thả ở xa, và với những đàn có số lượng hàng ngàn con thì chủ gia súc và người chăn thả không thể nhớ hết được, để tránh thiếu sót, họ nghĩ ra cách dùng những cái thẻ để đếm. Những cái thẻ được để vào một lọ gốm, đến ngày đàn gia súc được lùa về, chủ đàn mang lọ gốm ra đếm, mỗi con tương ứng với một cái thẻ. Tuy nhiên, dường như người chủ gia súc thi thoảng chơi gian lận bằng cách để thêm các thẻ vào lọ gốm, điều đó khiến cho người chăn thả rất thiệt thòi, để tránh việc đó, người Summer đã nghĩ ra một cách, họ bít kín cái bình lại. Thế là trước khi chăn đàn gia súc đi, chủ đàn và người chăn cùng bỏ các thẻ vào một cái bình gốm hình cầu, sau khi đếm xong số gia súc, họ bịt kín cái bình lại, cho đến lúc đàn gia súc về, cả hai sẽ cùng nhau đập vỡ cái bình và cùng đếm lại đàn gia súc. Cách làm này lại phát sinh vấn đề mới. Người chủ đàn đôi khi cần thông tin về số lượng gia súc thì không biết lấy từ đâu, vì cả đàn đã bị mang đi, còn những cái thẻ thì đã bị phong kín. Thế là người ta nghĩ ra cách ghi chú số lượng gia súc ra bên ngoài cái bình gốm hình cầu. Thế là các kí hiệu toán học ra đời, đó là các kí hiệu được viết bởi một đầu cây sậy vót nhọn lên bề mặt bình gốm, đó gần như là các chữ viết đầu tiên trên thế giới, bộ chữ hình nêm. Dần dà, người ta thấy việc này vẫn hơi phức tạp và họ đã nghĩ ra một cách vô cùng đơn giản, đơn giản đến nỗi chắc hẳn những người Summer đã hậm hực không biết tại sao mình không nghĩ ra sớm hơn. Cách làm mới đơn giản là chỉ cần viết các ghi chú ở phía ngoài mà không cần bỏ các thẻ vào bình gốm nữa, chủ đàn và người chăn sau đó đơn giản là để lại kí hiệu riêng của mình lên bề mặt đất sét là xong (hẳn là sau đó bình gốm được nung qua lửa). Đó là nguồn gốc của hợp đồng mà chúng ta sử dụng thời hiện đại.

Thời đại này, người Summer, người Ai Cập đã tìm ra rất nhiều định lí lớn về số học, hình học. Người ta đã biết được (dù chưa khái quát được) định lý Pythagore về cạnh huyền và hai cạnh góc vuông,

Người Summer đã cống hiến cho nhân loại nhiều tri thức về toán học, thiên văn mà sau này được kế thừa và phát triển rực rỡ bởi người Hi Lạp và La Mã cổ đại. Thư viện Alexandria là nơi được cho là đã lưu trữ nhiều thư tịch lớn của toán học cổ đại, trong đó có bộ sách Cơ sở (13 cuốn) của Euclid và các tài liệu toán học của trường phái Pythagore. Bộ cơ sở của Euclid đã tạo ra một cuộc cách mạng trong đó lần đầu tiên trong lịch sử toán học, người ta đã đề xuất logic: Định nghĩa, định đề (postulate), tiên đề (common notion) – đều được gọi chung là tiên đề axiom, định lý.

Dòng đầu tiên trong cuốn một của tập Cơ sở là đòng định nghĩa thế nào là một điểm: Điểm là thứ không thể phân chia được. Sau đó, ông đưa ra các định nghĩa về đường thẳng, mặt phẳng … và cung cấp các tiên đề cho lý thuyết hình học phẳng của mình. Euclid đề xuất 5 tiên đề:

  1. Qua hai điểm bất kì, luôn luôn vẽ được một đường thẳng.
  2. Đường thẳng có thể kéo dài ra vô tận.
  3. Với tâm bất kì và bán kính bất kì, luôn luôn vẽ được một đường tròn.
  4. Mọi góc vuông đều bằng nhau.
  5. Nếu hai đường thẳng tạo với một đường thẳng thứ ba hai góc trong cùng phía có tổng nhỏ hơn 180o thì chúng sẽ cắt nhau về phía đó.

Từ đó, ông đề xuất ra các định lý, được chứng minh từ các tiên đề, sử dụng thuật ngữ đã định nghĩa. Mặc dù các phép chứng minh được thể hiện bằng hình và lời chứ chưa có các kí hiệu hoàn chỉnh, ý tưởng của cuốn sách này thực sự tạo nên một cuộc cách mạng sâu sắc trong lĩnh vực toán học. Đầu tiên, Euclid đã tách rời toán học ra khỏi các đối tượng thực, từ nay về sau, người ta quan tâm đến một điểm, một đoạn thẳng chứ không quan tâm đến ngọn núi và sợi dây nữa. Bước thứ hai, phương pháp định nghĩa, tiên đề, định lý của Euclid đã tạo ra một logic chặt chẽ cho mọi phát biểu của mình. Người ta có thể kiểm chứng và xác nhận rõ ràng các phát biểu về sau, dựa trên các phát biểu trước đó. Từ đó về sau, tất cả các lí thuyết toán học đều dựa trên logic này, bất kì ai về sau cũng có thể tự sáng tạo ra một lý thuyết toán học cho riêng mình, miễn là chúng ta có thể đưa ra các định nghĩa, tiên đề phù hợp. Tôi đã thử và thành công, hãy như tôi.

Trung tâm của toán học dần dần chuyển sang châu Á, dẫn dắt bởi một nhà toán học vĩ đại, Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (Tiếng Ả Rập: محمد بن موسى الخوارزمي) tại Ba Tư (ngày nay là lãnh thổ của Khuwa, Uzbekistan), thành phố Bagdad tráng lệ. Dưới sự cai trị của những vị vua anh minh, thành phố Bagdad giàu có đã bảo trợ những nhà khoa học lớn được làm việc và cống hiến hết mình. al-Khwārizmī đã viết ra một cuốn sách theo yêu cầu của đức vua (các vị vua Ba Tư thời đó thường yêu cầu các nhà thông thái viết sách để thể hiện sự vĩ đại của mình). Khỏi phải nói cuốn sách này có ảnh hưởng thế nào đến toán học thế giới. Tên của tác giả al-Khwārizmī được đọc là Algorithm – có nghĩa là thuật toán. Cuốn sách của tác giả được gọi là algebra trong tiếng phương Tây – có nghĩa là Đại số. Cuốn sách lần đầu tiên đưa ra các khái niệm về phương trình, hệ phương trình.

Vốn dĩ bộ chữ số cùng lối viết số theo vị trí ngày nay do những người Ấn Độ phát minh ra, họ còn có công phát minh ra chữ số “0” với đầy đủ kí hiệu như hiện nay. Sau này, người Ả Rập xâm chiếm Ấn Độ, họ nhanh chóng học hỏi các phát minh này, viết thành sách. Các cuốn sách này được truyền bá sang phương Tây, được người phương Tây tiếp thu và truyền bá khắp thế giới. Toán học có tốc độ truyền bá nhanh chóng vào thời gian này là nhờ lúc đó thế giới đã phát minh ra giấy, nhờ công của người Trung Hoa cổ đại.

Giấy chắp cánh cho chữ viết, văn thơ, nhạc kịch, chính trị, tôn giáo và toán học. Nhờ có giấy kiến thức được truyền bá nhanh chóng hơn, độ chính xác cao hơn, nội dung nhiều hơn, lưu trữ tốt hơn. Toán học, nhờ đó được truyền bá ra khắp thế giới và tạo thành nhiều trung tâm toán học lớn ở phương Tây, Trung Quốc…

Thế giới bước vào đêm trường Trung Cổ với chiến tranh, sự kìm hãm của Giáo hội ở phương Tây khiến cho Toán học có một thời gian dài chững lại. Đến tận thế khỉ 16, toán học mới bắt đầu khởi sắc trở lại, cùng với việc phát triển số âm và cách giải phương trình bậc từ hai trở lên, người ta phát minh ra số ảo với sự đóng góp lớn của nhà toán học Rafael Bombelli người Italia. Số ảo là một số đặc biệt, một con số mà bình phương của nó là một số âm. Điều này nằm ngoài mọi phạm vi trực giác của con người. Cùng với sự đóng góp của François Viète một nhà toán học nghiệp dư người Pháp, người đã đặt nền móng cho các kí hiệu toán học, toán học giờ đây có ngôn ngữ riêng, đơn giản hơn mà khiến cho mọi người trên thế giới dù có tiếng mẹ đẻ khác nhau, cũng đều hiểu được toán học. Người ta không phải giải và ghi nhớ các công thức toán học bằng văn xuôi vốn khó nhớ và dễ hiểu nhầm, các nhà toán học dần dần sử dụng kí hiệu +, -, ×, ÷, √ cho các phép toán, dùng kí tự a, b, c cho các hằng và x, y, z cho các biến. Có lẽ là bắt đầu từ đây, toán học bắt đầu không còn như trước nữa, nó bắt đầu nghiên cứu và xác định những nội dung mà con người vốn không tiến hóa để hiểu được.

Có một vài câu chuyện về toán học rất ngộ nghĩnh trong thời đại này. Người ta kể rằng một hôm nọ, nhà toán học người Pháp René Descartes, sau một ngày làm việc mệt mỏi, ông ngả lưng trên ghế và nhìn lên trần nhà. Bất chợt ông nhìn thấy một … con ruồi. Con ruồi nhỏ bé nhìn như một điểm, vị trí tương đối của con ruồi có thể xác định được thông qua vị trí ngang dọc của nó tương ứng với góc tường. Thế là ông phát triển lí thuyết về hệ trục tọa độ Descartes, đó chính là tiên thân của hình học giải tích. Hình học, hình tròn, điểm, đoạn thẳng… tưởng như không liên quan gì đến các con số 1, 2, 3 thế nhưng Descartes đã làm một cuộc cách mạng lớn. Lí thuyết của ông đã gộp chung khái niệm của Euclid và al-Khwārizmī thành một, một hình có thể biểu diễn dưới dạng các con số và phương trình, ngược lại mỗi phương trình cũng có hình dáng riêng của mình. Không biết các bạn nghĩ sao, chứ tôi thì thấy căm thù loài ruồi kinh khủng, chúng thực sự gây ra phiền nhiễu.

Một câu chuyện cũng rất khắm khác đến từ nhà toán học Pierre de Fermat, cũng là một nhà toán học người Pháp. Có lẽ nước Pháp lãng mạn là nơi hay sản sinh ra những nhà toán học gây ra nhiều drama. Chuyện kể rằng, một hôm nọ, khi đang nghiên cứu một cuốn sách toán, đến phần liên quan đến định lí Pythagore, ngài Fermat đã phát biểu một trường hợp tổng quát phương trình:

Ông cho rằng phương trình này vô nghiệm. Và viết vào cạnh lề rằng: “Tôi có một phương pháp rất hay để chứng minh cho trường hợp tổng quát, nhưng không thể viết ra đây vì lề sách quá hẹp.” Phát biểu vu vơ này của ông đã khiến cho không biết bao nhiêu thế hệ nhà toán học phải bỏ cả tuổi thanh xuân của mình để giải quyết. Vấn đề này tồn tại hơn 300 năm mới có thể giải được với gần 200 trang giấy bởi nhà toán học người Anh, Andrew John Wiles sau 7 năm làm việc cô độc và 1 năm giày vò (hình như người ta phát hiện công trình của ông có một số điểm không hợp lí mà ông phải dành 1 năm để hiệu đính).

Toán học ngày nay đã có nhiều bước phát triển dài, rất nhiều nhà toán học đang ngày đêm đóng góp nhiều năm tháng cuộc đời của mình vào việc khai phá ra những thứ không thể dự đoán được. Toán học như là một phép màu nhiệm, bằng công cụ toán học trên không gian 4 chiều, Enstein đã phát biểu thuyết tương đối rộng của mình, lí thuyết nhóm Lee được dùng để phân loại các hạt cơ bản. Xác suất thống kê được sử dụng cho việc tính toán quĩ đạo các hạt cơ bản và trong trí tuệ nhân tạo. Sự thật là, không có toán học, đã không có vật lí học hiện đại, sinh học, máy tính và thế giới công nghiệp ngày nay.

Đã bao lần tôi tự hỏi rằng không biết toán học có trước hay vũ trụ có trước? Nếu vũ trụ có trước thì những công thức toán học tuyệt diệu kia tồn tại ở dạng vật chất nào? Tại sao các công thức toán học lại mô tả được vũ trụ và dự đoán được các dạng vật chất của thế giới? Tại sao vũ trụ lại vận hành theo các qui luật của toán học? Nếu vật chất là thứ tồn tại khách quan ngoài ý thức của con người thì toán học chỉ là những tưởng tượng của nhân loại?

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *